高中高一第二学期数学期末试卷试题练习
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1.函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )
A.0 B.1
C.2D.3
解析：选C.log5(x-1)=0，解得x=2，
∴函数f(x)=log5(x-1)的零点是x=2，故选C.
2.根据表格中的数据，可以判断方程ex-x-2=0必有一个根在区间( )
x-10123
ex0.3712.787.3920.09
x+212345
A.(-1,0)B.(0,1)
C.(1,2)D.(2,3)
解析：选C.设f(x)=ex-x-2，∵f(1)=2.78-3=-0.22<0，f(2)=7.39-4=3.39>0.∴f(1)f(2)<0，由根的存在性定理知，方程ex-x-2=0必有一个根在区间(1,2).故选C.
3.(xxxx年高考福建卷)函数f(x)=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析：选C.当x≤0时，由f(x)=x2+2x-3=0，得x1=1(舍去)，x2=-3;当x>0时，由f(x)=-2+lnx=0，得x=e2，所以函数f(x)的零点个数为2，故选C.
4.已知函数f(x)=x2-1，则函数f(x-1)的零点是________.
解析：由f(x)=x2-1，得y=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x，∴由x2-2x=0.解得x1=0，x2=2，因此，函数f(x-1)的零点是0和2.
答案：0和2
1.若函数f(x)=ax+b只有一个零点2，那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )
A.0,2B.0，-12
C.0，12D.2，12
解析：选B.由题意知2a+b=0，
∴b=-2a，∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1)，
使g(x)=0，则x=0或-12.
2.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A.a<1B.a>1
C.a≤1D.a≥1
解析：选B.由题意知，Δ=4-4a<0，∴a>1.
3.函数f(x)=lnx-2x的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(3,4)D.(e,3)
解析：选B.∵f(2)=ln2-1<0，f(3)=ln3-23>0，
∴f(2)•f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点.
4.下列函数不存在零点的是( )
A.y=x-1xB.y=2x2-x-1
C.y=x+1 x≤0x-1 x>0D.y=x+1 x≥0x-1 x<0
解析：选D.令y=0，得A和C中函数的零点均为1，-1;B中函数的零点为-12，1;只有D中函数无零点.
5.函数y=loga(x+1)+x2-2(0
A.0B.1
C.2D.无法确定
解析：选C.令loga(x+1)+x2-2=0，方程解的个数即为所求函数零点的个数.即考查图象y1=loga(x+1)与y2=-x2+2的交点个数.
6.设函数y=x3与y=(12)x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
解析：选B.设f(x)=x3-(12)x-2，
则f(0)=0-(12)-2<0;f(1)=1-(12)-1<0;f(2)=23-(12)0>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上.
7.函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________.
解析：设方程f(x)=0的另一根为x，
由根与系数的关系，得1+x=-2aa=-2，
故x=-3，即另一个零点为-3.
答案：-3
8.若函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________.
解析：因为函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在一个零点，所以有f(-1)•f(1)≤0，即(-5a+1)•(a+1)≤0，(5a-1)(a+1)≥0，
所以5a-1≥0a+1≥0或5a-1≤0，a+1≤0，解得a≥15或a≤-1.
答案：a≥15或a≤-1.
9.下列说法正确的有________：
①对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内一定没有零点.
②函数f(x)=2x-x2有两个零点.
③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.
④当a=1时，函数f(x)=|x2-2x|-a有三个零点.
解析：①错，如图.
②错，应有三个零点.
③对，奇、偶数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.
④设u(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点.∴a=1.
答案：③④
10.若方程x2-2ax+a=0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围.
解：设f(x)=x2-2ax+a.
由题意知：f(0)•f(1)<0，
即a(1-a)<0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负.故分为两种情况.
a>0，1-a<0，或a<0，1-a>0，
∴a<0或a>1.
11.判断方程log2x+x2=0在区间[12，1]内有没有实数根?为什么?
解：设f(x)=log2x+x2，
∵f(12)=log212+(12)2=-1+14=-34<0，
f(1)=log21+1=1>0，∴f(12)•f(1)<0，函数f(x)=log2x+x2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f(x)在区间[12，1]内有零点，即方程log2x+x2=0在区间[12，1]内有实根.
12.已知关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0，探究a为何值时，
(1)方程有一正一负两根;
(2)方程的两根都大于1;
(3)方程的一根大于1，一根小于1.
解：(1)因为方程有一正一负两根，
所以由根与系数的关系得a-1a<0Δ=12a+4>0，
解得0
(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y=ax2-2(a+1)x+a-1的大致图象如图(1)(2)所示，新课标第一网
所以必须满足a>0Δ>0a+1a>1f1>0，或a<0Δ>0a+1a>1f1<0，不等式组无解.
所以不存在实数a，使方程的两根都大于1.
法二：设方程的两根分别为x1，x2，由方程的两根都大于1，得x1-1>0，x2-1>0，
即x1-1x2-1>0x1-1+x2-1>0
⇒x1x2-x1+x2+1>0x1+x2>2.
所以a-1a-2a+1a+1>02a+1a>2⇒a<0a>0，不等式组无解.
即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.
(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y=ax2-2(a+1)x+a-1的大致图象如图(3)(4)所示，
所以必须满足a>0f1<0或a<0f1>0，解得a>0.
∴即当a>0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.
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