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xxxx年浙江省三角形中考数学试题专题解析
一、选择题
1.(2019浙江杭州3分)如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1.若OC∥BA，∠AOC=36°，则【】
A.点B到AO的距离为sin54° B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54° D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
【答案】C。
【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。
【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。
∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°。
在Rt△BOA中，∵∠AOB=90°，AB=1，
∴BO=ABsin36°=sin36°。故本选项错误。
B、由A可知，选项错误。
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离。
在Rt△BOA中，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°。
∴AO=AB•sin54°=sin54°。
在Rt△ADO中，AD=AO•sin36°=AB•sin54°•sin36°=sin54°•sin36°。故本选项正确。
D、由C可知，选项错误。
故选C。
3.(2019浙江湖州3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】
A.20B.10C.5D.
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=5。故选C。
4.(2019浙江嘉兴、舟山4分)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【】米.
A.asin40°B.acos40°C.atan40°D.
【答案】C。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴AB=atan40°。故选C。
5.(2019浙江宁波3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为【】
A.4 B.2 C. D.
【答案】A。
【考点】锐角三角函数的定义。
【分析】∵cosB=，∴。
又AB=6，∴。故选A。
二、填空题
1.(2019浙江湖州4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的边长是▲
【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。
∵所分成的都是正三角形，
∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为，较短的对角线为。
∴黑色菱形的面积=。
∴，整理得，11x2-144x+144=0。
解得(不符合题意，舍去)，x2=12。
所以，△ABC的边长是12。
2.(2019浙江、舟山嘉兴5分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：
①;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ▲ .
【答案】①③。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。
又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴。
∵BA=BC，∴。故①正确。
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。
∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB。∴。
又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，。
∵，∴FG=FB。故②错误。
∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=AC。
∵AC=AB，∴AF=AB。故③正确。
设BD=a，则AB=BC=2a，△BDF中BD边上的高=。
∴S△ABC=，S△BDF
∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。
因此，正确的结论为①③。
三、解答题
1.(2019浙江丽水、金华6分)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=AB=6，BC=ABcos∠ABC=12×。
∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD=。∴AD=AC-CD=6-。
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6-)米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD=AC-CD即可求解。
2.(2019浙江绍兴8分)如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°。
(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米);
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。
【答案】解：(1)∵si
n∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。
(2)∵tan32°=，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225
∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。
∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义。
【分析】(1)直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。
(2)由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。
3.(2019浙江绍兴10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。
【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB。
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC。
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC。
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD=BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。
探究：∵BC=5，AB=3，∴AC=。
①若PB=PC，设PA=，则，∴，即PA=。
②若PA=PC，则PA=2。
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。
∴PA=2或。
【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。
【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数。
探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。
4.(2019浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，
解方程得x1=，x2=，
∴点B将向外移动米。
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题。
【答案】解：(1);0.8，﹣2.2(舍去);0.8。
(2)①不会是0.9米，理由如下：
若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，
∵，∴该题的答案不会是0.9米。
②有可能。理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有，解得：x=1.7或x=0(舍去)。
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。
【分析】(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。
(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立;设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意。
5.(2019浙江台州8分)如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离(结果保留整数).
【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。
又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。
∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。
又∵，∴。
∴BD≈185.2﹣50≈135(米)。
答：码头B、D的距离约为135米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。
【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC-CD可求得B、D的距离。
6.(2019浙江台州12分)已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE;
(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论.
【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD。∴∠ABD=∠CBE。
在△ABD与△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)。
(2)解：四边形BDEF是菱形。证明如下：
由(1)△ABD≌△CBE，∴CE=AD。
∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC。
又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD。
∴四边形BDCE是菱形。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。
【分析】(1)由∠ABC=∠DBE，根据等量加等量和相等，得∠ABD=∠CBE，从而根据SAS即可证得结论。
(2)由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和(1)的结论，得到四边形四边相等，从
而得出结论。
7.(2019浙江温州9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处?请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
8.(2019浙江义乌6分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明.你添加的条件是 .(不添加辅助线).
【答案】解：添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。
以添加DE=DF证明：
在△BDF和△CDE中，
∵BD=CD(已知)，∠EDC=∠FDB(对项角相等)，DE=DF(添加)，
∴△BDF≌△CDE(SAS)。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】由已知BD=CD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。
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xxxx年浙江省三角形中考数学试题专题解析
一、选择题
1.(2019浙江杭州3分)如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1.若OC∥BA，∠AOC=36°，则【】
A.点B到AO的距离为sin54° B.点B到AO的距离为tan36°
C.点A到OC的距离为sin36°sin54° D.点A到OC的距离为cos36°sin54°
【答案】C。
【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。
【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：
A、由于在Rt△ABO中∠AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。
∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°。
在Rt△BOA中，∵∠AOB=90°，AB=1，
∴BO=ABsin36°=sin36°。故本选项错误。
B、由A可知，选项错误。
C、如图，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离。
在Rt△BOA中，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°。
∴AO=AB•sin54°=sin54°。
在Rt△ADO中，AD=AO•sin36°=AB•sin54°•sin36°=sin54°•sin36°。故本选项正确。
D、由C可知，选项错误。
故选C。
3.(2019浙江湖州3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【】
A.20B.10C.5D.
【答案】C。
【考点】直角三角形斜边上的中线性质。
【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=5。故选C。
4.(2019浙江嘉兴、舟山4分)如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于【】米.
A.asin40°B.acos40°C.atan40°D.
【答案】C。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴AB=atan40°。故选C。
5.(2019浙江宁波3分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为【】
A.4 B.2 C. D.
【答案】A。
【考点】锐角三角函数的定义。
【分析】∵cosB=，∴。
又AB=6，∴。故选A。
二、填空题
1.(2019浙江湖州4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的边长是▲
【答案】12。
【考点】一元二次方程的应用(几何问题)，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。
【分析】设正△ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。
∵所分成的都是正三角形，
∴根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为，较短的对角线为。
∴黑色菱形的面积=。
∴，整理得，11x2-144x+144=0。
解得(不符合题意，舍去)，x2=12。
所以，△ABC的边长是12。
2.(2019浙江、舟山嘉兴5分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF.给出以下四个结论：
①;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ▲ .
【答案】①③。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。
【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。
又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴。
∵BA=BC，∴。故①正确。
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。
∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB。∴。
又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，。
∵，∴FG=FB。故②错误。
∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=AC。
∵AC=AB，∴AF=AB。故③正确。
设BD=a，则AB=BC=2a，△BDF中BD边上的高=。
∴S△ABC=，S△BDF
∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。
因此，正确的结论为①③。
三、解答题
1.(2019浙江丽水、金华6分)学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比).A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=AB=6，BC=ABcos∠ABC=12×。
∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD=。∴AD=AC-CD=6-。
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6-)米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD=AC-CD即可求解。
2.(2019浙江绍兴8分)如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°。
(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米);
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249。
【答案】解：(1)∵sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。
(2)∵tan32°=，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225
∵电梯以每秒上升2级，∴10秒钟电梯上升了20级。
∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米。
【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题)，锐角三角函数定义。
【分析】(1)直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。
(2)由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。
3.(2019浙江绍兴10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心。
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数。
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。
【答案】解：应用：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°。
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB。
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC。
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC。
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD=BD，∴∠APD=∠BPD=45°。∴∠APB=90°。
探究：∵BC=5，AB=3，∴AC=。
①若PB=PC，设PA=，则，∴，即PA=。
②若PA=PC，则PA=2。
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能。
∴PA=2或。
【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。
【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数。
探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。
4.(2019浙江绍兴12分)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC﹣AA1=
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由得方程，
解方程得x1=，x2=，
∴点B将向外移动米。
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题。
【答案】解：(1);0.8，﹣2.2(舍去);0.8。
(2)①不会是0.9米，理由如下：
若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，
∵，∴该题的答案不会是0.9米。
②有可能。理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有，解得：x=1.7或x=0(舍去)。
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。
【分析】(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。
(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立;设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意。
5.(2019浙江台州8分)如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B、D的距离(结果保留整数).
【答案】解：∵AE∥BC，∴∠ADC=∠EAD=45°。
又∵AC⊥CD，∴CD=AC=50。
∵AE∥BC，∴∠ABC=∠EAB=15°。
又∵，∴。
∴BD≈185.
2﹣50≈135(米)。
答：码头B、D的距离约为135米。
【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题)，等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。
【分析】由∠EAB=15°，根据平行的性质，可得∠ABC=∠EAB=15°。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由∠ADC=∠EAD=45°可得CD=AC=50。从而由BD=BC-CD可求得B、D的距离。
6.(2019浙江台州12分)已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE;
(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论.
【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD。∴∠ABD=∠CBE。
在△ABD与△CBE中，BA=BC，∠ABD=∠CBE，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE(SAS)。
(2)解：四边形BDEF是菱形。证明如下：
由(1)△ABD≌△CBE，∴CE=AD。
∵点D是△ABC外接圆圆心，∴DA=DB=DC。
又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD。
∴四边形BDCE是菱形。
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。
【分析】(1)由∠ABC=∠DBE，根据等量加等量和相等，得∠ABD=∠CBE，从而根据SAS即可证得结论。
(2)由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和(1)的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。
7.(2019浙江温州9分)某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35°方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处?请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
8.(2019浙江义乌6分)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明.你添加的条件是 .(不添加辅助线).
【答案】解：添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。
以添加DE=DF证明：
在△BDF和△CDE中，
∵BD=CD(已知)，∠EDC=∠FDB(对项角相等)，DE=DF(添加)，
∴△BDF≌△CDE(SAS)。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】由已知BD=CD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等)。
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