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xxxx年中考数学试题圆考点归类
一、选择题
1.(天津3分)已知⊙与⊙的半径分别为3cm和4cm，若=7cm，则⊙与⊙的位置关系是
(A)相交(B)相离(C)内切(D)外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A、相交B、外切C、外离D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于
A、30°B、60°C、45°D、50°
【答案】
【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【分析】连接OC，
∵OC=OA，，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP=45°，即∠CDP=45°。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°;
根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1，BF=2+2=4。∴BD=。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是，⊙2的半径是，圆心距是，则两圆的位置关系为
A.相交B.外切C.外离D.内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-2<4<5+2，所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为.
A.5B.4C..3D.2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。
根据弦径定理，得AM=BM=4，在Rt△AOM中，由AM=4，OA=5，根据勾股定理得OM=3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数
A.70°B.60°C.50°D.40°
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC=1800-2∠OAC。
由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC=∠AOD。
由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD=1800-∠BOD=70°。
∴∠AOC=1800-2×70°=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为
A70B.35C.30D.20
【答案】B。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC=70，
根据弦径定理，得∠DOC=140;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC=70。
从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD，交AC于点B.若OB=5，则BC的长等于▲。
【答案】5。
【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中，，
∴AD=2AO=。
连接CD，则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中，，
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图，点0为优弧所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D=▲.
【答案】27°。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲.
【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC=x，OP=1+x，根据地勾股定理，得OP2=OC2+PC2，即(1+x)2=x2+32，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA-PB求出直径，从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12，半径是6，则它的圆心角是▲。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n，根据扇形面积公式，得，解得n=1200。
18.解
答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形.求的值.
【答案】解：(I)如图①，连接OC，则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。
∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得。
∴在△RtOAB中，。
(Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。
【分析】(I)要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点.
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α.
当α=▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲.
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=▲度，此时点N到CD的距离是▲.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转.
(1)如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围.
(参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=.)
【答案】解：思考：90，2。
探究一：30，2。
探究二(1)当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。
(2)如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，
此时延长PO交AB于点H，
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。
在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是2。
探究二：(1)由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.
(1)求证：直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】(1)证明：连接OB、OP
∵且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA，OP=OP，∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC，∴∠PBO=90°。
∴直线PB是⊙O的切线。
(2)由(1)知∠BCO=∠POA。
设PB，则BD=，
又∵PA=PB，∴AD=。
又∵BC∥OP，∴。∴。∴。∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1)求证：BM是⊙O2的切线;
(2)求⌒AM的长。
【答案】解(1)证明：连结O2B，
∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°。
∵AB=23，∴BN=3，∴O2B=2。
∴⌒AM=⌒BM=120π×2180=4π3。
【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三
角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°从而得出结论：BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15，CE=9，求EF的长;
(2)证明：①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由.
【答案】解：(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。
∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴。
∵BE=15，CE=9，即：，解得：EF=。
(2)证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。
同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF，∴。
又∵△CEF∽△BCF，∴。∴。
又∵AB=BC，∴CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上，且时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD。理由如下：
∵CE=CD，∴BC=CD=CE。
在Rt△BCE中，tan∠CBE=，
∴∠CBE=30°，∴所对圆心角为60°。
∴F在⊙O的下半圆上，且。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。
(2)①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD，可得BC=CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.
(1)求证：BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8，求BF的长.
【答案】解：(1)证明：连结OE，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
(2)过D作DG⊥AC于G，连结BE，
∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。
∵BD为直径，∴∠BED=90°。
∵BD=BF，∴DE=EF。
在△DEG和△FEC中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC(AAS)。∴DG=CF。
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴。
∴，∴，∴或(舍去)。
∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。
中国学科吧（jsfw8.com）
以下是中国学科吧（jsfw8.com）为您推荐的xxxx年中考数学试题圆考点归类，希望本篇文章对您学习有所帮助。
xxxx年中考数学试题圆考点归类
一、选择题
1.(天津3分)已知⊙与⊙的半径分别为3cm和4cm，若=7cm，则⊙与⊙的位置关系是
(A)相交(B)相离(C)内切(D)外切
【答案】D。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(内蒙古包头3分)已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是
A、相交B、外切C、外离D、内含
【答案】B。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。故选B。
3,(内蒙古包头3分)已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，则∠CDP等于
A、30°B、60°C、45°D、50°
【答案】
【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【分析】连接OC，
∵OC=OA，，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠CAP=∠ACO。
∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。
∵
∠CPD+∠DPA+∠CAP+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP=45°，即∠CDP=45°。故选C。
4.(内蒙古呼和浩特3分)如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。
【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF。
根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°;
根据圆的轴对称性和DC∥AB，得四边形FBCD是等腰梯形。
∴DF=CB=1，BF=2+2=4。∴BD=。故选B。
5.(内蒙古呼伦贝尔3分)⊙O1的半径是，⊙2的半径是，圆心距是，则两圆的位置关系为
A.相交B.外切C.外离D.内切
【答案】A。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和)，内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差)，相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和)，相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差)，内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。由于5-2<4<5+2，所以两圆相交。故选A。
6.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为.
A.5B.4C..3D.2
【答案】C。
【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。
【分析】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。
根据弦径定理，得AM=BM=4，在Rt△AOM中，由AM=4，OA=5，根据勾股定理得OM=3，即线段OM长的最小值为3。故选C。
7.(内蒙古呼伦贝尔3分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC的度数
A.70°B.60°C.50°D.40°
【答案】D。
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。
【分析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC=1800-2∠OAC。
由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC=∠AOD。
由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD=1800-∠BOD=70°。
∴∠AOC=1800-2×70°=400。故选D。
8.(内蒙古乌兰察布3分)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为
A70B.35C.30D.20
【答案】B。
【考点】弦径定理，圆周角定理。
【分析】如图，连接OD，AC。由∠BOC=70，
根据弦径定理，得∠DOC=140;
根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠DAC=70。
从而再根据弦径定理，得∠A的度数为35。故选B。
17.填空题
1.(天津3分)如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD，交AC于点B.若OB=5，则BC的长等于▲。
【答案】5。
【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。
【分析】∵在Rt△ABO中，，
∴AD=2AO=。
连接CD，则∠ACD=90°。
∵在Rt△ADC中，，
∴BC=AC-AB=15-10=5。
2.(河北省3分)如图，点0为优弧所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB延长线上，BD=BC，则∠D=▲.
【答案】27°。
【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。
【分析】∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°。∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°。
3.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分)如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ▲.
【答案】4。
【考点】切线的性质，勾股定理。
【分析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC。设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC=x，OP=1+x，根据地勾股定理，得OP2=OC2+PC2，即(1+x)2=x2+32，解得x=4。即该半圆的半径为4。
【学过切割线定理的可由PC2=PA•PB求得PA=9，再由AB=PA-PB求出直径，从而求得半径】
4.(内蒙古呼伦贝尔3分)已知扇形的面积为12，半径是6，则它的圆心角是▲。
【答案】1200。
【考点】扇形面积公式。
【分析】设圆心角为n，根据扇形面积公式，得，解得n=1200。
18.解答题
1.(天津8分)已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB.OA、OB与⊙O分别交于点D、E.
(I)如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号);
(Ⅱ)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形.求的值.
【答案】解：(I)如图①，连接OC，则OC=4。
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB。
∴在△OAB中，由OA=OB，AB=10得。
∴在△RtOAB中，。
(Ⅱ)如图②，连接OC，则OC=OD。
∵四边形ODCE为菱形，∴OD=DC。
∴△ODC为等边三角形。∴∠AOC=600。
∴∠A=300。∴。
【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，300角直角三角形的性质。
【分析】(I)要求OA的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线OC，由AB与⊙O相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.(河北省10分)如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点.
思考
如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α.
当α=▲度时，点P到CD的距离最小，最小值为▲.
探究一
在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=▲度，此时点N到CD的距离是▲.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转
.
(1)如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围.
(参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=.)
【答案】解：思考：90，2。
探究一：30，2。
探究二(1)当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，
此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。
(2)如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD，
此时延长PO交AB于点H，
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。
在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=。∴∠MOH=49°。
∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。
∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。
探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是2。
探究二：(1)由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。
3.(内蒙古呼和浩特8分)如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.
(1)求证：直线PB是⊙O的切线;
(2)求cos∠BCA的值.
【答案】(1)证明：连接OB、OP
∵且∠D=∠D，∴△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。
又∵OB=OA，OP=OP，∴△BOP≌△AOP(SAS)。
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC，∴∠PBO=90°。
∴直线PB是⊙O的切线。
(2)由(1)知∠BCO=∠POA。
设PB，则BD=，
又∵PA=PB，∴AD=。
又∵BC∥OP，∴。∴。∴。∴
∴cos∠BCA=cos∠POA=。
【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。
【分析】(1)连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。
(2)设PB，则BD=，根据切线长定理得到PA=PB，根据勾股定理得到AD=，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。
4.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分)如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点，⊙O2经过⊙O1的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=23。
(1)求证：BM是⊙O2的切线;
(2)求⌒AM的长。
【答案】解(1)证明：连结O2B，
∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°。
∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°。
∵AB=23，∴BN=3，∴O2B=2。
∴⌒AM=⌒BM=120π×2180=4π3。
【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】(1)连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°从而得出结论：BM是⊙O2的切线。
(2)根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。
5.(内蒙古包头12分)如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D.
(1)如果BE=15，CE=9，求EF的长;
(2)证明：①△CDF∽△BAF;②CD=CE;
(3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由.
【答案】解：(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。
∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴。
∵BE=15，CE=9，即：，解得：EF=。
(2)证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。
同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。
②∵△CDF∽△BAF，∴。
又∵△CEF∽△BCF，∴。∴。
又∵AB=BC，∴CE=CD。
(3)当F在⊙O的下半圆上，且时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD。理由如下：
∵CE=CD，∴BC=CD=CE。
在Rt△BCE中，tan∠CBE=，
∴∠CBE=
30°，∴所对圆心角为60°。
∴F在⊙O的下半圆上，且。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。
(2)①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE。
(3)由CE=CD，可得BC=CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且。
6.(内蒙古乌兰察布10分)如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.
(1)求证：BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8，求BF的长.
【答案】解：(1)证明：连结OE，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
(2)过D作DG⊥AC于G，连结BE，
∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。
∵BD为直径，∴∠BED=90°。
∵BD=BF，∴DE=EF。
在△DEG和△FEC中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC(AAS)。∴DG=CF。
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴。
∴，∴，∴或(舍去)。
∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】(1)连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。
(2)易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。
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