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xxxx年中考数学四边形试题解析
一、选择题
1.(2019江苏连云港3分)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】
A.+1B.+1C.2.5D.
【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE=EF，∠EAF=∠EFA==22.5°。∴∠FAB=67.5°。
设AB=x，则AE=EF=x，
∴an67.5°=tan∠FAB=t。故选B。
2.(2019江苏南通3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120º，则AB的长为【】
A.3cmB.2cmC.23cmD.4cm
【答案】D。
【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。
【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形。
∴AB=AO=4cm。故选D。
3.(2019江苏苏州3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是【】
4.(2019江苏泰州3分)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对
角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形;④正五边形既是
轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B。
【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。
【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：
①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，
连接BD，则
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC(两直线平行，内错角相等)。
又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD(等量减等量，差相等)。
∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行)。
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)。因此命题①正确。
②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。
③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC，BD。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，HG=AC，EF=BD，FG=BD(三角形中位线定理)。
又∵矩形ABCD，∴AC=BD(矩形的对角线相等)。
∴EF=HG=EF=FG(等量代换)。
∴四边形EFGH是菱形(四边相等的辊边形是菱形)。因此命题③正确。
④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。
综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选B。
5.(2019江苏无锡3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】
A.17B.18C.19D.20
【答案】A。
【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。
【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：
AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。
6.(2019江苏徐州3分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【】
A.1对B.2对C.3对D.4对
【答案】C。
【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a。
∴。
∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。
二、填空题
1.(2019江苏淮安3分)菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=▲cm。
【答案】5。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，由对角线长AC=8cm，BD=6cm，得AO=4cm，BP=3cm;
在Rt△ABO中，根据勾股定理，得(cm)。
2.(2019江苏南京2分)如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=▲cm
【答案】2.5。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，
∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。
∵BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。
∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴，即，解得DE=2.5cm。
3.(2019江苏南通3分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90º，AB=7cm，BC=3cm，
AD=4cm，则CD=▲cm.
【答案】2。
【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。
∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。
又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。
∵BC=3，AD=4，∴EA=。
∴CD=BE=AB×AE=7-5=2。
4.(2019江苏宿迁3分)已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是▲.(填“梯形”“矩形”“菱形”)
【答案】矩形。
【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。
【分析】如图，连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。
又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。
∴四边形EFGH是矩形。
且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。
∴四边形EFGH不可能是菱形。
5.(2019江苏宿迁3分)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1▲S2.(填“>”“=”“<”)
【答案】=。
【考点】黄金分割点，二次根式化简。
【分析】设AB=1，由P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
根据黄金分割点的，AP=，BP=。
∴。∴S1=S2。
6.(2019江苏徐州2分)如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为▲cm2。
【答案】。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，连接BD。
∵菱形ABCD中∠A=600，
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。
∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。
由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=。
∴△BCD的面积等于(cm2)，即阴影部分的面积等于cm2。
7.(2019江苏盐城3分)如图,在四边形中,已知∥,.在不添加任何辅助线的前
提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是▲.(填上你认为正确的一个答案即可)
【答案】∠A=90°(答案不唯一)。
【考点】矩形的判定。
【分析】由已知，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，
从而在不添加任何辅助线的前提下，根据矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即
可。例如，∠A=90°(答案不唯一)。
8.(2019江苏扬州3分)已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是 ▲ cm.
【答案】3。
【考点】梯形中位线定理。
【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：
设梯形的上底长为x，则梯形的中位线=(x+5)=4，解得x=3。
9.(2019江苏镇江2分)如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为▲。
【答案】2。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。
∴△CEF∽△ABF。∴。
又∵，BF=BC+CF=4+CF，∴，解得CF=2。
三、解答题
1.(2019江苏常州7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
【答案】证明：连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
2.(2019江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式▲;
(2)若点E与点A重合，则x的值为▲;
(3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。
【答案】解：(1)y=-x2+4x。
(2)或。
(3)存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=900。
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，D′H=。
∵∠ED′A=1800-900-∠PD′H=900-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，
∴△ED′A∽△D′PH。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2-4x+1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】(1)∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4-x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=-x2+4x。
(2)当点E与点A重合时，y=2，即2=-x2+4x，x2-4x+2=0。
解得。
(3)过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△ED′A与△D′PH相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
3.(2019江苏淮安8分)已知：如图在平行四边形ABCD中，延长AB到点E，使BE=A
B，连接DE交BC于点F。求证：△BEF≌△CDF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB。∴∠CDF=∠B，∠C=∠FBE。
又∵BE=AB，∴BE=CD。
∵在△BEF和△CDF中，∠CDF=∠B，BE=CD，∠C=∠FBE，
∴△BEF≌△CDF(ASA)。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠FBE，然后利用ASA证明即可。
4.(2019江苏连云港12分)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么?
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC=90°。
∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2。
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+(2-x)2+12=8，化简得x2-2x+3=0，
∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴方程无解。
∴不存在PB=x，使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：存在。理由如下：
如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。
∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。
又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。
∵AD=1，BC=3，∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：存在。理由如下：
如图3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。
∵AD=1，∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°
∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，
∵AD=1，∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM=AD=1，DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。
∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。
∴CK=CH•cos45°=(n+4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为(n+4)。
【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x2+32+(2-x)2+1=8，由判别式△<0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB=45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。
5.(2019江苏南京8分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
(1)求证：四边形EFGH为正方形;
(2)若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。
【答案】(1)证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。
∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。
∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。
又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。
∴四边形EFGH是正方形。
(2)解：连接EG。
在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴。
在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴，即四边形EFGH的面积为。
【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。
【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。
(2)连接EG，利用梯形的中位线定
理求出EG的长，然后结合(1)的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积。
6.(2019江苏南通10分)如图，菱形ABCD中，∠B=60º，点E在边BC上，点F在边CD上.
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60º，
求证：BE=DF;
(2)如图2，若∠EAF=60º，
求证：△AEF是等边三角形.
【答案】证明：(1)连接AC。
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°。
∴△ABC是等边三角形。
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。
∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。
∴EC=CF。∴BE=DF。
(2)连接AC。
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。
∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，
又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。
(2)连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。
7.(2019江苏苏州6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，
连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA;
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。
∴∠ABE=∠CDA。
在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA，BE=AD，
∴△ABE≌△CDA(SAS)。
⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。
∴∠AEB=∠ACE。
∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。
∴∠EAC=180°-40°-40°=100°。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】(1)先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等。
(2)根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得
出答案。
8.(2019江苏苏州9分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：(1)∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3-x，AG=4-x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y=3时，，解得:x=2.5。
(2)∵，
∴为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
(3)延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
9.(2019江苏泰州10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD
于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠CFB=90°。
∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。
在Rt△AED和Rt△CFB中，∵∠EAD=∠CFB=90°，∠AED=∠CFB，AE=CF，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(ASA)。∴AD=BC。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。
【分析】由垂直得到&ang
;EAD=∠BCF=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平
行四边形的判定判断即可。
10.(2019江苏无锡8分)如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。∴∠B=∠DCF。
∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)。∴∠BAE=∠CDF。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可由SAS证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。
11.(2019江苏徐州6分)如图，C为AB的中点。四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F。
求证：EF=BF。
【答案】证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴ED=AC，ED∥AC。∴∠D=∠FCB，∠DEF=∠B。
又∵C为AB的中点，∴AC=BC。∴ED=BC。
在△DEF和△CBF中，∵∠D=∠FCB，ED=BC，∠DEF=∠B，
∴△DEF≌△CBF(SAS)。∴EF=BF。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，易用SAS证明△DEF≌△CBF，从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF。
12.(2019江苏盐城10分)如图所示,在梯形中,∥,,为上一点,
.
(1)求证:;
(2)若,试判断四边形的形状,并说明理由.
【答案】解：(1)证明：∵，∴，且。
又∵，∴。∴。
(2)四边形为菱形。理由如下：
∵，∴。
∵，∴。
∵，∴。
又∵∥，∴四边形为平行四边形。
又∵，∴为菱形。
【考点】梯形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】(1)由，C，利用等角的余角相等，即可得，又由等角对等边，即可证得。
(2)先证四边形是平行四边形，由，即可证得四边形为菱形。
13.(2019江苏盐城10分)如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.
(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明;
(2)在图①中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图③,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)
【答案】解：(1)在正方形中,∵，，
∴。
又∵,∴。∴。∴。
又∵四边形为正方形，∴。∴。
在与中,，
∴≌。∴。
(2)。理由如下：
过点作，垂足为，
由(1)知：≌，≌。
∴,，∴。
(3)。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得≌，根据全等三角形的对应边相等，即可得。
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xxxx年中考数学四边形试题解析
一、选择题
1.(2019江苏连云港3分)小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】
A.+1B.+1C.2.5D.
【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE=EF，∠EAF=∠EFA==22.5°。∴∠FAB=67.5°。
设AB=x，则AE=EF=x，
∴an67.5°=tan∠FAB=t。故选B。
2.(2019江苏南通3分)如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120º，则AB的长为【】
A.3cmB.2cmC.23cmD.4cm
【答案】D。
【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。
【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形。
∴AB=AO=4cm。故选D。
3.(2019江苏苏州3分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是【】
4.(2019江苏泰州3分)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形;②对
角线互相垂直且相等的四边形是正方形;③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形;④正五边形既是
轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有【】
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B。
【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。
【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：
①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，
连接BD，则
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC(两直线平行，内错角相等)。
又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD(等量减等量，差相等)。
∴AB∥DC(内错角相等，两直线平行)。
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形定义)。因此命题①正确。
②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。
③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
连接AC，BD。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=AC，HG=AC，EF=BD，FG=BD(三角形中位线定理)。
又∵矩形ABCD，∴AC=BD(矩形的对角线相等)。
∴EF=HG=EF=FG(等量代换)。
∴四边形EFGH是菱形(四边相等的辊边形是菱形)。因此命题③正确。
④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。
综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选B。
5.(2019江苏无锡3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】
A.17B.18C.19D.20
【答案】A。
【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。
【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：
AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。
6.(2019江苏徐州3分)如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【】
A.1对B.2对C.3对D.4对
【答案】C。
【考点】正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定。
【分析】根据正方形的性质，求出各边长，应用相似三角形的判定定理进行判定：
同已知，设CF=a，则CE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。
根据勾股定理，得EF=，AE=，AF=5a。
∴。
∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF。共有3对相似三角形。故选C。
二、填空题
1.(2019江苏淮安3分)菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=▲cm。
【答案】5。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】如图，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，由对角线长AC=8cm，BD=6cm，得AO=4cm，BP=3cm;
在Rt△ABO中，根据勾股定理，得(cm)。
2.(2019江苏南京2分)如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=▲cm
【答案】2.5。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，
∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。
∵BE=BC，CE=CD，
∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。
∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴，即，解得DE=2.5cm。
3.(2019江苏南通3分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90º，AB=7cm，BC=3cm，
AD=4cm，则CD=▲cm.
【答案】2。
【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。
∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。
又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。
∵BC=3，AD=4，∴EA=。
∴CD=BE=AB×AE=7-5=2。
4.(2019江苏宿迁3分)已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是▲.(填“梯形”“矩形”“菱形”)
【答案】矩形。
【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。
【分析】如图，连接AC，BD。
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。
又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。
∴四边形EFGH是矩形。
且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。
∴四边形EFGH不可能是菱形。
5.(2019江苏宿迁3分)如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1▲S2.(填“>”“=”“<”)
【答案】=。
【考点】黄金分割点，二次根式化简。
【分析】设AB=1，由P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，
根据黄金分割点的，AP=，BP=。
∴。∴S1=S2。
6.(2019江苏徐州2分)如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600。是以点A为圆心、AB长为半径的弧，是以点B为圆心、BC长为半径的弧。则阴影部分的面积为▲cm2。
【答案】。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，连接BD。
∵菱形ABCD中∠A=600，
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形。
∴BD与围成的弓形面积等于CD与围成的弓形面积。
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积。
由菱形ABCD的边长为2cm，∠A=600得△BCD的高为2sin600=。
∴△BCD的面积等于(cm2)，即阴影部分的面积等于cm2。
7.(2019江苏盐城3分)如图,在四边形中,已知∥,.在不添加任何辅助线的前
提下，要想该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是▲.(填上你认为正确的一个答案即可)
【答案】∠A=90°(答案不唯一)。
【考点】矩形的判定。
【分析】由已知，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，
从而在不添加任何辅助线的前提下，根据矩形的判定写出一个内角是直角或相邻两角相等或对角互补即
可。例如，∠A=90°(答案不唯一)。
8.(2019江苏扬州3分)已知梯形的中位线长是4cm，下底长是5cm，则它的上底长是 ▲ cm.
【答案】3。
【考点】梯形中位线定理。
【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：
设梯形的上底长为x，则梯形的中位线=(x+5)=4，解得x=3。
9.(2019江苏镇江2分)如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为▲。
【答案】2。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。
【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。
∴△CEF∽△ABF。∴。
又∵，BF=BC+CF=4+CF，∴，解得CF=2。
三、解答题
1.(2019江苏常州7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：AE=AF。
【答案】证明：连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。
2.(2019江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式▲;
(2)若点E与点A重合，则x的值为▲;
(3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。
【答案】解：(1)y=-x2+4x。
(2)或。
(3)存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x2+4x，EA=AD-ED=x2-4x+2，∠PD′E=∠D=900。
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，D′H=。
∵∠ED′A=1800-900-∠PD′H=900-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，
∴△ED′A∽△D′PH。∴，即，
即，两边平方并整理得，2x2-4x+1=0。解得。
∵当时，y=，
∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当时，y=，
∴此时，点E在边AD上，符合题意。
∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。
【分析】(1)∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4-x，且△MCP∽△PDE，
∴，即。∴y=-x2+4x。
(2)当点E与点A重合时，y=2，即2=-x2+4x，x2-4x+2=0。
解得。
(3)过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△ED′A与△D′PH相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。
3.(2019江苏淮安8分)已知：如图在平行四边形ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F。求证：△BEF≌△CDF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB。∴∠CDF=∠B，∠C=∠FBE。
又∵BE=AB，∴BE=CD。
∵在△BEF和△CDF中，∠CDF=∠B，BE=CD，∠C=∠FBE，
∴△BEF≌△CDF(ASA)。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠FBE，然后利用ASA证明即可。
4.(2019江苏连云港12分)已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，
问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么?
问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA(n为常数)，以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.
【答案】解：问题1：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC=90°。
∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2。
设PB=x，则AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+(2-x)2+12=8，化简得x2-2x+3=0，
∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴方程无解。
∴不存在PB=x，使∠DPC=90°。∴对角线PQ与DC不可能相等。
问题2：存在。理由如下：
如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点。
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H。
∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH。
∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ。∴∠ADP=∠QCH。
又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS)。∴AD=HC。
∵AD=1，BC=3，∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：存在。理由如下：
如图
3，设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ。∴。
∵AD=1，∴CH=2。∴BH=BG+CH=3+2=5。
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5。
问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，∴。
∴G是DC上一定点。
作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K。
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°
∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD。∴△ADP∽△BHQ，∴，
∵AD=1，∴BH=n+1。∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4。
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形。
∴BM=AD=1，DM=AB=2。∴CM=BC-BM=3-1=2=DM。
∴∠DCM=45°。∴∠KCH=45°。
∴CK=CH•cos45°=(n+4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为(n+4)。
【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB=x，可得方程x2+32+(2-x)2+1=8，由判别式△<0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。
问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4。
问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。
问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB=45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。
5.(2019江苏南京8分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
(1)求证：四边形EFGH为正方形;
(2)若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。
【答案】(1)证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。
∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。
∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。
又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。
∴四边形EFGH是正方形。
(2)解：连接EG。
在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴。
在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴，即四边形EFGH的面积为。
【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。
【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。
(2)连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合(1)的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积。
6.(2019江苏南通10分)如图，菱形ABCD中，∠B=60º，点E在边BC上，点F在边CD上.
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60º，
求证：BE=DF;
(2)如图2，若∠EAF=60º，
求证：△AEF是等边三角形.
【答案】证明：(1)连接AC。
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°。
∴△ABC是等边三角形。
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。
∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。
∴EC=CF。∴BE=DF。
(2)连接AC。
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。
∴△ABC是等边三角形。
∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。
∴∠AEB=∠AFC。
在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，
又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。
(2)连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。
7.(2019江苏苏州6分)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，
连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CD
A;
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。
∴∠ABE=∠CDA。
在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA，BE=AD，
∴△ABE≌△CDA(SAS)。
⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。
∴∠AEB=∠ACE。
∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。
∴∠EAC=180°-40°-40°=100°。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】(1)先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等。
(2)根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得
出答案。
8.(2019江苏苏州9分)如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD
以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，
连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH
的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s)，线段GP的长为y(cm)，其中
0≤x≤2.5.
⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值;
⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2.试说明S1-S2是常数;
⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.
【答案】解：(1)∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则。∴。
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3-x，AG=4-x。
∴，即。∴y关于x的函数关系式为。
当y=3时，，解得:x=2.5。
(2)∵，
∴为常数。
(3)延长PD交AC于点Q.
∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。
∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。
∴∠GDP=∠ADQ=45°。
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。
∴，化简得：，解得：。
∵0≤x≤2.5，∴。
在Rt△DGP中，。
【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。
(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。
(3)延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。
9.(2019江苏泰州10分)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD
于点F，且AE=CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠CFB=90°。
∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。
在Rt△AED和Rt△CFB中，∵∠EAD=∠CFB=90°，∠AED=∠CFB，AE=CF，
∴Rt△AED≌Rt△CFB(ASA)。∴AD=BC。
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。
【分析】由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平
行四边形的判定判断即可。
10.(2019江苏无锡8分)如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。∴∠B=∠DCF。
∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)。∴∠BAE=∠CDF。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可由SAS证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。
11.(2019江苏徐州6分)如图，C为AB的中点。四边形ACDE为平行四边形，BE与CD相交于点F。
求证：EF=BF。
【答案】证明：∵四边形ACDE为平行四边形，∴ED=AC，ED∥AC。∴∠D=∠FCB，∠DEF=∠B。
又∵C为AB的中点，∴AC=BC。∴ED=BC。
在△DEF和△CBF中，∵∠D=∠FCB，ED=BC，∠DEF=∠B，
∴△DEF≌△CBF(SAS)。∴EF=BF。
【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，易用SAS证明△DEF≌△CBF，从而根据全等三角形对应边相等的性质即可证得EF=BF。
12.(2019江苏盐城10分)如图所示,在梯形中,∥,,为上一点,
.
(1)求证:;
(2)若,试判断四边形的形状,并说明理由.
【答案】解：(1)证明：∵，∴，且。
又∵，∴。∴。
(2)四边形为菱形。理由如下：
∵，∴。
∵，∴。
∵，∴。
又∵∥，∴四边形为平行四边形。
又∵，∴为菱形。
【考点】梯形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】(1)由，C，利用等角的余角相等，即可得，又由等角对等边，即可证得。
(2)先证四边形是平行四边形，由，即可证得四边形为菱形。
13.(2019江苏盐城10分)如图①所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.
(1)如图②,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明;
(2)在图①中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、、之间的数量关系
,并说明理由;
(3)如图③,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)
【答案】解：(1)在正方形中,∵，，
∴。
又∵,∴。∴。∴。
又∵四边形为正方形，∴。∴。
在与中,，
∴≌。∴。
(2)。理由如下：
过点作，垂足为，
由(1)知：≌，≌。
∴,，∴。
(3)。
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】(1)由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得≌，根据全等三角形的对应边相等，即可得。
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