学江苏省徐州市沛县九级上期中数学试卷含答案 本文关键词：沛县，徐州市，上期，江苏省，含答案
学江苏省徐州市沛县九级上期中数学试卷含答案 本文简介：2014-2015学年江苏省徐州市沛县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是()A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣22．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴方程是()A．x=2B
学江苏省徐州市沛县九级上期中数学试卷含答案 本文内容：
2014-2015学年江苏省徐州市沛县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是(
)
A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2
2．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴方程是(
)
A．x=2B．x=﹣2C．x=3D．x=﹣3
3．下列方程中有实数根的是(
)
A．x2+x+2=0B．x2﹣x﹣1=0C．x2﹣x+2=0D．x2﹣x+3=0
4．如图，圆内接四边形ABCD是正方形，点E是上一点，则∠E的大小为(
)
A．90°B．60°C．45°D．30°
5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于(
)
A．8B．4C．10D．5
6．将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是(
)
A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣1）2﹣3C．y=（x+1）2﹣3D．y=（x﹣1）2+3
7．某中学去年对实验器材的投资为6万元，预计明年的投资为9万元，若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x，根据题意，下面所列方程正确的是(
)
A．9（1+x）2=6B．9（1﹣x）2=6
C．6（1+x）2=9D．6+6（1+x）+6（1+x）2=9
8．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为(
)
A．B．C．3D．2
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP__________5cm（填“＞”、“＜”或“=”）
10．已知x1、x2是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2=__________．
11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转__________度，才能和原来五边形重合．
12．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为__________．
13．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为__________．
14．如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．
15．如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是__________．
16．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为__________．
17．把一个圆锥的侧面展开后是一个圆心角为120°，半径为4的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径为__________．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴x=1，下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0；⑤4a+2b+c＞0；⑥方程ax2+bx+=0有一根介于3和4之间．
三、解答题（共10小题，满分86分）
19．解下列方程
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）2x2﹣4x=1．
20．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA=12cm，点P为⊙O上一动点，求PA的最大值和最小值．
（2）如图：=，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD=CE．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣3，6）、（﹣2，﹣1）、（0，﹣3），求这个二次函数的表达式．
22．某农户打算用120米长的围栏围成总面积为800平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（如图），墙的长度足够，求羊圈的边长AB、BC各多少米？
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
24．对于抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为__________，与y轴交点的坐标为__________，顶点坐标为__________．
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此时抛物线；
（3）结合图象回答问题：当1＜x＜4时，y的取值范围是__________．
25．在同一平面内，已知点O到直线l的距离为6，以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）当r=__________时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于2；
（2）若⊙O上有且只有2个点到直线l的距离为2，则r的取值范围是__________．
（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围．
26．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出16件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖8件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）时，每个月的销售利润诶y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润为多少元？
27．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．
28．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=﹣3x+3的图象经过A、C两点．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）将一次函数y=﹣3x+3的图象沿y轴向下平移m（m＞0）个单位，设平移后的直线与y轴交于点D，与二次函数图象的对称轴交于点E．
①求证：四边形ADEC是平行四边形；
②当m=__________时，四边形ADEC是矩形，当m=__________时，四边形ADEC是菱形；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得S△PAC=2S△ADC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年江苏省徐州市沛县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是(
)
A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=﹣2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
所以x1=0，x2=2．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴方程是(
)
A．x=2B．x=﹣2C．x=3D．x=﹣3
【考点】二次函数的性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据抛物线的解析式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+3，
∴抛物线的对称轴方程为：x=2．
故选A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
3．下列方程中有实数根的是(
)
A．x2+x+2=0B．x2﹣x﹣1=0C．x2﹣x+2=0D．x2﹣x+3=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：A、∵△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；
B、∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴方程有实数根，故本选项正确；
C、∵△=（﹣1）2﹣4×1×2=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；
D、∵△=（﹣1）2﹣4×1×3=﹣11＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；
故选B．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
4．如图，圆内接四边形ABCD是正方形，点E是上一点，则∠E的大小为(
)
A．90°B．60°C．45°D．30°
【考点】圆周角定理；正方形的性质．
【分析】连接AC、BD交于点O，根据正方形ABCD为内接四边形以及正方形的性质可得∠AOD=90°，然后根据圆周角定理可求得∠E的度数．
【解答】解：连接AC、BD交于点O，
∵圆内接四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=DO，∠AOD=90°，
∴点O为圆心，
则∠E=∠AOD=×90°=45°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理以及正方形的性质，关键是得出∠AOD=90°，并熟练掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于(
)
A．8B．4C．10D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM，根据勾股定理即可求得OA的长．
【解答】解：连接OA，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，且AM=4
在直角△OAM中，OA==5
故选D．
【点评】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM的长，证明△OAM是直角三角形是解题的关键．
6．将抛物线y=x2先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系是(
)
A．y=（x+1）2+3B．y=（x﹣1）2﹣3C．y=（x+1）2﹣3D．y=（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
向右平移1个单位，再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为（1，﹣3），
所以，所得图象的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
7．某中学去年对实验器材的投资为6万元，预计明年的投资为9万元，若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x，根据题意，下面所列方程正确的是(
)
A．9（1+x）2=6B．9（1﹣x）2=6
C．6（1+x）2=9D．6+6（1+x）+6（1+x）2=9
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均增长率为x，关系式为：明年的投资额=去年的投资额×（1+投资的平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设平均增长率为x，
由题意得：今年的投资总额为6（1+x），明年的投资总额为6（1+x）2，
∴可列方程为6（1+x）2=8，
故选C．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，得到今、明2年的投资额的关系式是解决本题的突破点，难度一般，注意正确解出方程．
8．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为(
)
A．B．C．3D．2
【考点】切线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为=．
故选B．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O内，则OP＜5cm（填“＞”、“＜”或“=”）
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】根据点与圆的三种位置关系的判定方法，直接判断，即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，
点P在⊙O内，
∴OP＜5cm．
故答案为：＜．
【点评】该题主要考查了点与圆的位置关系及其应用问题；设圆的半径为λ，点到圆心的距离为μ，点与圆的三种位置关系是：（1）当λ＞μ时，点在圆外；（2）当λ=μ时，点在圆上；（3）当λ＜μ时，点在圆内；反之，亦成立．
10．已知x1、x2是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1+x2=4．
【考点】根与系数的关系．
【分析】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=，代入求出即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系定理的应用，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=，
11．一个正五边形绕它的中心至少要旋转72度，才能和原来五边形重合．
【考点】旋转对称图形．
【分析】要与原来的五边形重合．可用一个圆周角的度数（即360度）除以5，便可知道至少要旋转多少度才能和原来的五边形重合．
【解答】解：要与原来五边形重合，故为360÷5=72°．故一个正五边形绕它的中心至少旋转72°才能和原来的五边形重合．
【点评】本题主要考查旋转对称图形的性质以及几何体度数的计算方法，难度一般．
12．若x=1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为﹣5．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把x=1代入方程，可得关于m的一元一次方程，解即可．
【解答】解：将x=1代入方程得：1+3+m+1=0，
解得：m=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】判别式法．
【分析】由抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2﹣4ac=0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x轴的交点个数的关系．
14．如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则⊙O的半径为3cm．
【考点】切线的性质．
【分析】设圆的半径是x，则BC=2x，利用切割线定理可得关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：设圆的半径是x，则BC=2x，根据题意得：
PA2=PB?PC，
∵PA=4cm，PB=2cm，
∴42=2（2+2x），
解得：x=3．
∴⊙O的半径为3cm．
故答案为：3．
【点评】此题考查了切线的性质，掌握切割线定理即从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项是本题的关键．
15．如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是﹣2＜x＜1．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
16．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为2．
【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．
【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF=AE，BD=BE问题即可解决．
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；
其中AC=8，BC=6；连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD=OF；
∵∠C=90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）；
由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=36+64=100，
∴AB=10；由切线的性质定理的：
AF=AE，BD=BE；
∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，
∴R=2，
它的内切圆半径为2．
【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
17．把一个圆锥的侧面展开后是一个圆心角为120°，半径为4的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径为．
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长==π，
故圆锥的底面半径为π÷2π=．
故答案为：；
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴x=1，下列结论中正确的是②③④⑥（写出所有正确结论的序号）
①b＞0；②abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0；⑤4a+2b+c＞0；⑥方程ax2+bx+=0有一根介于3和4之间．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据抛物线与x轴的交点情况，确定b2﹣4ac的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
【解答】解：①∵开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴①错误；
②抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，∴abc＞0，②正确；
③抛物线与x轴两个交点，b2﹣4ac＞0，③正确；
④当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，④正确；
⑤根据对称轴是x=1，观察图象可知，x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，⑤错误；
⑥从图象可知方程ax2+bx+=0有一根介于﹣1和﹣2之间，对称轴是x=1，∴方程ax2+bx+=0另一根介于3和4之间，⑥正确
故答案为：②③④⑥．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
三、解答题（共10小题，满分86分）
19．解下列方程
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）2x2﹣4x=1．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先化为一般式，然后利用求根公式法解一元二次方程．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣1=0，
△=16﹣4×2×（﹣1）=24，
x==
所以x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
20．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA=12cm，点P为⊙O上一动点，求PA的最大值和最小值．
（2）如图：=，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD=CE．
【考点】点与圆的位置关系；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）先由直径为10cm，可求半径为5cm，PA取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时，由OA=12cm，可得PA的最大值为12+5=17cm，PA取得最小值是当点P在线段OA上时，可得PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）连接CO，由D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，由=，可得∠COD=∠COE，然后根据SAS可证△COD≌△COE，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到CD=CE．
【解答】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的半径为10÷2=5（cm），
当点P在线段OA的延长线上时，PA取得最大值，当点P在线段OA上时，PA取得最小值
∵OA=12cm，
∴PA的最大值为12+5=17cm，PA的最小值为12﹣5=7cm；
（2）证明：连接CO，如图所示，
∵OA=OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
又∵=，
∴∠COD=∠COE，
在△COD和△COE中，
，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
【点评】此题考查了点与圆的位置关系及圆周角定理，（1）的解题关键是：弄清PA取得最大值是当点P在线段OA的延长线上时；PA取得最小值是当点P在线段OA上时．
21．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣3，6）、（﹣2，﹣1）、（0，﹣3），求这个二次函数的表达式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】把三点坐标代入二次函数解析式求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣3，6）、（﹣2，﹣1）、（0，﹣3），
∴，
解得：，
则这个二次函数的表达式为y=2x2+3x﹣3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．某农户打算用120米长的围栏围成总面积为800平方米的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（如图），墙的长度足够，求羊圈的边长AB、BC各多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】首先设羊圈的边长AB为x米，则BC的长为（120﹣4x）米，根据题意可得等量关系：长×宽=800平方米，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设羊圈的边长AB为x米，则BC的长为（120﹣4x）米，
由题意得，x（120﹣4x）=800，
解这个方程，得x1=10，x2=20，
当x=10时，120﹣4x=80，
当x=20时，120﹣4x=40．
答：羊圈的边长AB为10米，BC为80米；或则羊圈的边长AB为20米，BC为40米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出方程．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC，结合切线的性质和条件可求得∠A=∠D=30°，可证明AC=CD；
（2）由（1）结合条件直角三角形的性质可求得CD，可求得△OCD和扇形OCB的面积，可求出阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接CO，
∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2，
∴S△OCD=CD?OC=2，S扇形OCB==，
∴S阴影=2﹣．
【点评】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．在（1）中注意OA=OC的运用，在（2）中先求得CD是解题的关键．
24．对于抛物线y=x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为（1，0），（3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）．
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此时抛物线；
（3）结合图象回答问题：当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y＜3．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）根据函数值为零，可得函数图象与x轴的交点，根据自变量为零时，可得函数图象与y轴的交点，根据二次函数图象的顶点坐标公式，可得顶点坐标；
（2）根据描点法，可得函数图象；
（3）根据a=1＞0，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可得答案．
【解答】解：（1）它与x轴交点的坐标为
（1，0），（3，0），与y轴交点的坐标为
（0，3），顶点坐标为
（2，﹣1）．
故答案为：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出此时抛物线：，
（3）由图象，得
当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用了描点法画函数图象，利用了函数的性质．
25．在同一平面内，已知点O到直线l的距离为6，以点O为圆心，r为半径画圆．
（1）当r=4时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于2；
（2）若⊙O上有且只有2个点到直线l的距离为2，则r的取值范围是4＜r＜8．
（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）根据垂线段最短，则要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于2，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径6﹣2=4；
（2）根据点O到直线l的距离为6，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于2，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是2的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是6+2=8；
（3）结合上述两种特殊情况即可对此题进行分情况考虑：当0＜r＜4时，或当r=4时，或当4＜r＜8时，或当r=8时，或当r＞8时．
【解答】解：（1）r=6﹣2=4，
故答案为：4；
（2）4＜r＜8；
（3）当0＜r＜4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为0，
当r=4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为1，
当4＜r＜8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为2，
当r=8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为3，
当r＞8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为4．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
26．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出16件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖8件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）时，每个月的销售利润诶y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出160件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖8件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．
（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=﹣8（x﹣5）2+1800，当x=5时y有最大值，从而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：y=（160﹣8x）（50+x﹣40）
=﹣8x2+80x+1600；
（2）根据（1）得：
y=﹣8x2+80x+1600，
y=﹣10（x﹣5）2+1800，
∵a=﹣8＜0，
∴当x=10时，y有最大值1800．
∴当售价定为每件60元，每个月的利润最大，最大的月利润是1800元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
27．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）如图，作辅助线；根据题意结合图形，证明∠ODE=90°，即可解决问题．
（2）首先求出BC=6，进而求出BD的值；运用直角三角形的性质求出AD的值，即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°；
又∵点E为BC的中点，
∴BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；
∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴DE是圆⊙O的切线．
（2）解：由（1）知BC=2DE=6，
又∵∠CBD=∠BAC=30°，
∴CD=3，BD=3
∴AB=6；
由勾股定理得：AD=9．
【点评】该题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理及其推论、勾股定理等知识点是解题的关键．
28．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=﹣3x+3的图象经过A、C两点．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）将一次函数y=﹣3x+3的图象沿y轴向下平移m（m＞0）个单位，设平移后的直线与y轴交于点D，与二次函数图象的对称轴交于点E．
①求证：四边形ADEC是平行四边形；
②当m=时，四边形ADEC是矩形，当m=6时，四边形ADEC是菱形；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，使得S△PAC=2S△ADC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①根据全等三角形的判定与性质，可得AC与DE的关系，根据平行四边形的判定，可得答案；
②根据矩形的判定，可得直线AC与AD的位置关系，可得D点坐标，根据两点间的距离，可得答案；
根据菱形的判定，可得AC=AD，根据等腰三角形的性质，可得OD=OC，根据两点间的距离，可得答案；
（3）根据平行线间的距离相等，可得S△QAC=S△PAC，根据等底两三角形的面积是二倍，可得两三角形的高是二倍，再根据三角形的中位线，可得CQ与OC的关系，可得PQ的解析式，根据联立PQ与抛物线，可得P点坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣3x+3的图象经过A、C两点，
∴A（1，0），C（0，3）．
又∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A、C两点，
∴解得，
∴二次函数的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①证明：如图1，设二次函数图象的对称轴为MN，过D点作DF⊥MN，垂足为F．
由（1）知OA=DF=1，∠FED=∠EDC=∠OCA
在△ACO和△DFE中，
∴Rt△ACO≌Rt△DEF
（AAS），
∴DE=AC．
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEC是平行四边形；
②由四边形ADEC是矩形，得
AC的解析式y=﹣3x+3，AD的解析式为y=x﹣，
当x=0时，y=﹣，即D（0，﹣），
CD=3﹣（﹣）=，
当m=时，四边形ADEC是矩形；
由四边形ADEC是菱形，得
AD=AC，OD=OC=3，
即D（0，﹣3），
CD=3﹣（﹣3）=6，
当m=6时，四边形ADEC是菱形；
故答案为：，6；
（3）假设存在满足条件的点P，可设点P（x，﹣x2﹣2x+3），
如图2，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，OD⊥AC与D，QE⊥AC与E，
∵PQ∥AC，当S△PAC=2S△AOC时，有S△QAC=2S△AOC，
QE=OD，
∴CQ=2OC=6，
∴直线PQ的解析式y=﹣3x﹣3，
联立PQ与抛物线，得
，
∴﹣x2﹣2x+3=﹣3x﹣3，
解得x1=﹣2，x2=3
∴抛物线上存在点P（3，﹣12）或（﹣2，3），使S△PAC=2S△AOC．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定与菱形的判定；利用平行线间的距离相等得出S△QAC=2S△AOC是解题关键，又利用了三角形中位线的性质，得出CQ的长，利用解方程组得出交点坐标．